Question

（如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）．

（1）若△CEF與△ABC相似．
①當AC=BC=2時，AD的長為_________；
②當AC=3，BC=4時，AD的長為_________；
（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．

Answer 1

(1)①;②或;(2)△CEF與△ABC相似．理由詳見解析.

試題分析：(1)①如圖1，有△CEF與△ABC相似，可得∠CEF=∠A=45°,由題意知△CEF≌△DEF,所以CE=DE,∠DEF=∠CEF=45°,所以∠DEC=90°,即∠AED=90°,又∠A=45°,所以△AED是等腰直角三角形，所以AE=DE,所以AE=CE=1,根據勾股定理可求得AD=.②分兩種情況：一、當△CEF∽△CAB時，如圖2，則有∠CEF=∠CAB,所以EF∥AB,根據題意，點C與點D關于直線EF對稱，所以CD⊥EF,所以CD⊥AB,由三角形的面積公式可求得CD=2.4，在△ACD中，由勾股定理可得AD=;二、當△CFE∽△CAB時，如圖3，此時有∠A=∠CFE, ∠B=∠CEF,又∠A+∠B=90°,所以∠A+∠CEF="90°," ∠B+∠CFE=90°，前面已證EF⊥CD,所以∠DCE+∠CEF=90°，∠DCF+∠CFE=90°，所以∠A=∠ACD, ∠B=∠BCD,所以AD=CD=BD=2.5；（2）利用折疊前后對應的部分關于折疊線對稱，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得∠A=∠CFE, ∠B=∠CEF,所以得證.
 
試題解析：（1）①；②；
（2）△CEF與△ABC相似．理由如下：
如圖，連接CD，與EF交于點Q．
∵CD是Rt△ABC的中線，
∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．
由折疊性質可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠ECF=∠BCA，
∴△CEF∽△CBA．