Question

提出問題

如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．
類比探究
如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
拓展延伸
如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）成立，理由見試題解析；（3）∠ABC=∠ACN，理由見試題解析．

試題分析：（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結論；
（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣；
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到，根據∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結論．
試題解析：（1）∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN；
（2）結論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN；
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，則，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．