Question

（1）如圖1，在△ABC中，點D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE//BC，AQ交DE于點P,求證：

（2）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG,AF分別交DE于M,N兩點.
①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；
②如圖3，求證：MN=DM·EN

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①，②證明見解析.

試題分析：（1）易證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出.（2）①根據等腰直角三角形的性質和勾股定理，求出BC邊上的高，根據△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長。從而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN邊上高，△AGF的GF邊上高，GF=，根據 MN：GF等于高之比即可求出MN. ②可得出△BGD∽△EFC，則DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF²=CF•BG，再根據（1），從而得出結論.
試題解析：（1）在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.  ∴.
同理在△ACQ中，.
∴.
（2）① .
②∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90，∴∠B=∠CEF.
又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC.∴.∴DG·EF＝CF·BG.
又∵DG＝GF＝EF，∴GF²＝CF·BG.
由（1）得 ，∴. ∴MN²＝DM·EN.