Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，若∠BAC=∠CAM，過點C作直線l垂直于射線AM，垂足為點D．

（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若直線l與AB的延長線相交于點E，⊙O的半徑為3，并且∠CAB=30°．求圖中所示陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）CD與⊙O相切．理由見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結OC，如圖，由∠1=∠2，∠2=∠3得∠1=∠3，則可判斷OC∥AD，由于CD⊥AD，所以OC⊥CD，于是根據切線的判定定理可得CD為⊙O的切線；

（2）利用三角形外角性質可得到∠EOC=60°，而OC⊥CD，則∠OCE=90°，在Rt△OCE中利用∠EOC的正切可計算出CE=3，然后三角形面積公式和扇形面積公式，利用S陰影部分=S△OOE-S扇形COB進行計算即可．

試題解析：（1）CD與⊙O相切．理由如下：

連結OC，如圖，

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∵∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥AD，

而CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線；

（2）∵∠EOC=∠1+∠2，∠2=30°，

∴∠EOC=60°，

∵OC⊥CD，

∴∠OCE=90°，

在Rt△OCE中，∵tan∠EOC=，

∴CE=3tan60°=3，

∴S陰影部分=S△OOE-S扇形COB

=

=．