Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為m、4m（m＞0），D為邊AB的中點，一拋物線l經過點A、D及點M（﹣1，﹣1﹣m）．

（1）求拋物線l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點E，若拋物線l與線段CE相交，求實數m的取值范圍；
（3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標．

Answer 1

解：（1）設拋物線l的解析式為，
將A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三點的坐標代入，得
，解得。
∴拋物線l的解析式為。
（2）設AD與x軸交于點M，過點A′作A′N⊥x軸于點N，

∵把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO。
∵矩形OABC中，AD∥OC，∴∠ADO=∠DOM。
∴∠A′DO=∠DOM。∴DM=OM。
設DM=OM=x，則A′M=2m﹣x，
在Rt△OA′M中，∵OA′²+A′M²=OM²，
∴，解得。
∵，∴。
∴。
∴A′點坐標為（，）。
易求直線OA′的解析式為，
當x=4m時，，∴E點坐標為（4m，）。
當x=4m時，，
∴拋物線l與直線CE的交點為（4m，）。
∵拋物線l與線段CE相交，∴。
∵m＞0，∴，解得。
（3）∵，
∴當x=m時，y有最大值。
又∵，
∴當時，隨m的增大而增大。
∴當m=時，頂點P到達最高位置，。
∴此時拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標為（，）

試題分析：（1）設拋物線l的解析式為，將A、D、M三點的坐標代入，運用待定系數法即可求解。
（2）設AD與x軸交于點M，過點A′作A′N⊥x軸于點N．根據軸對稱及平行線的性質得出DM=OM=x，則A′M=2m﹣x，OA′=m，在Rt△OA′M中運用勾股定理求出x，得出A′點坐標，運用待定系數法得到直線OA′的解析式，確定E點坐標（4m，﹣3m），根據拋物線l與線段CE相交，列出關于m的不等式組，求出解集即可。
（3）根據二次函數的性質，結合（2）中求出的實數m的取值范圍，即可求解。