Question

【題目】如圖，點E是正方形ABCD的對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），作EF⊥AC交邊BC于點F，聯結AF、BE交于點G．
（1）求證：△CAF∽△CBE；
（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∵EF⊥AC，

∴∠FEC=90°=∠ABC，

又∵∠FCE=∠ACB，

∴△CEF∽△CAB，

∴ ，

又∵∠ACF=∠BCE，

∴△CAF∽△CBE

（2）∵△CAF∽△CBE，

∴∠CAF=∠CBE，

∵∠BAC=∠BCA=45°，

∴∠BAF=∠BEF，

設EC=1，則EF=1，FC= ，

∵AE：EC=2：1，

∴AC=3，

∴AB=BC= AC= ，

∴BF=BC﹣FC= ，

∴

【解析】（1）利用AA證明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS證明△CAF∽△CBE（2）證出∴∠BAF=∠BEF，設EC=1，則EF=1，FC= ，AC=3，由勾股定理得出AB=BC= AC= ，得出BF=BC﹣FC= ，由三角函數即可得出結果．
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質和相似三角形的判定與性質，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．