Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，開口向下的拋物線y=ax2+bx+c交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側）．已知A點坐標為（0，﹣5），BC=4，拋物線過點（2，3）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）記拋物線的頂點為M，求△ACM的面積；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由點A的坐標為（0，﹣5）可知c=﹣5，

又∵拋物線經過點（2，3），

∴4a+2b﹣5=0①，

設B（x1，0），C（x2，0），則（x1﹣x2）2=16．即（x1+x2）2﹣2x1x2=16．

∵x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴ + =16②．

將方程①與方程②聯立，解得：a=﹣1，b=6．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+6x﹣5

（2）

解：如圖1所示：記AM與x軸的交點坐標為D．

∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣（x﹣3）2+4，

∴點M的坐標為（3，4）．

設直線AM的解析式為y=kx+b．

∵將A（0，﹣5）、M（3，4）代入得 ，解得：k=3，b=﹣5，

∴直線AM的解析式為y=3x﹣5．

∵令y=0得：3x﹣5=0．解得：x= ，

∴D（ ，0）．

∵令拋物線的y=0得：﹣x2+6x﹣5=0，解得x1=1，x2=5，

∴C（5，0）．

∴S△ACM=S△CDA+S△CDM= ×（5﹣ ）×（4+5）=15

（3）

解：①當∠PCA=90°時，如圖2所示：過點C作CP⊥AC，交拋物線與點P．

設AC的解析式為y=kx+b．

∵將點A、C的坐標代入得： ，解得：k=1，b=﹣5，

∴直線AC的解析式為y=x﹣5．

設PC的解析式為y=k1x+b1．

∵PC⊥AC，

∴k1=﹣1．

∴直線PC的解析式為y=﹣x+b1．

∵將C（5，0）代入得：﹣5+b=0，解得；b=5，

∴PC的解析式為y=﹣x+5．

∵將y=﹣x+5代入y=﹣x2+6x﹣5得：﹣x2+6x﹣5=﹣x+5，整理得：x2﹣7x+10=0，解得；x1=2，x2=5（舍去）．

∴點P的坐標為（2，3）

②當∠PAC=90°時，如圖3所示：

∵AP⊥AC，A（0，﹣5）

∴AP的解析式為y=﹣x﹣5．

將y=﹣x﹣5代入y=﹣x2+6x﹣5得：﹣x2+6x﹣5=﹣x﹣5，整理得：x2﹣7x=0，解得；x1=7，x2=0（舍去）．

∴點P的坐標為（7，﹣12）．

綜上所述點P的坐標為（2，3）或（7，12）

【解析】（1）由點A的坐標可求得c的值，將（2，3）代入拋物線的解析式得到關于a、b的二元一次方程，設B（x1 ， 0），C（x2 ， 0），由題意可得到（x1﹣x2）2=16．結合一元二次方程根與系數的關系可得到關于a、b的另一個方程，將兩個方程聯立可求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；（2）記AM與x軸的交點坐標為D．先求得點M的坐標，從而可求得AM的解析式，然后再求得點D的坐標，最后依據S△ACM=S△CDA+S△CDM求解即可；（3）先求得AC的解析式，①當∠PCA=90°時，可求得PC的解析式，然后求得PC與拋物線的交點坐標即可；②當∠PAC=90°時，可求得PC的解析式然后求得PC與拋物線的交點坐標即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．