Question

【題目】直線MN與直線PQ相交于O，∠POM＝60°，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動．

(1)如圖1，∠BAO=70°,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，試求出∠AEB的度數．

(2)如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點A、B在運動的過程中，∠CED的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出其值．

(3)在（2）的條件下，在△CDE中，如果有一個角是另一個角的2倍，請直接寫出∠DCE的度數．

Answer 1

【答案】(1) ∠AEB的度數為120°；(2) ∠CED的大小不發生變化，其值為60°；(3) ∠DCE的度數為40°或80°．

【解析】

（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根據AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根據三角形內角和即可得出∠AEB的大小；

（2）不發生變化，延長BC、AD交于點F，根據角平分線的定義以及三角形內角和可得∠F =90°-∠AOB，∠CED =90°-∠F，即可得出∠CED的度數；

（3）分三種情況求解即可．

解：（1）∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，

∴∠ABO=50°．

∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，

∴∠EAB=∠OAB=35°，∠EBA=∠OBA=25°，

∴∠AEB=180°-35°-25°=120°；

（2）不發生變化，理由如下：

如圖，延長BC、AD交于點F，

∵點D、C分別是∠PAB和∠ABM的角平分線上的兩點，

∴∠FAB=∠PAB=(180°-∠OAB)，∠FBA=∠MBA=(180°-∠OBA)，

∴∠FAB+∠FBA=(180°-∠OAB)+(180°-∠OBA)=(180°+∠AOB)=90°+∠AOB，

∵∠AOB=60°，

∴∠F=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°-∠AOB=60°，

同理可求∠CED =90°-∠F=60°；

（3）①當∠DCE=2∠E時，顯然不符合題意；

②當∠DCE=2∠CDE時，∠DCE==80°；

③當∠DCE=∠CDE時，∠DCE==40°，

綜上可知，∠DCE的度數40°或80°．