Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑OA的長為2，點B是⊙O上的動點，以AB為半徑的⊙A與線段OB相交于點C，AC的延長線與⊙O相交于點D．設線段AB的長為x，線段OC的長為y．
（1）求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（2）當四邊形ABDO是梯形時，求線段OC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：在⊙O與⊙A中，

∵OA=OB，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=∠OAB，

∴△ABC∽△OAB，

∴ = ，

∴ = ，

∴BC= x2，

∵OC=OB﹣BC，

∴y關于x的函數解析式y=2﹣ x2，

定義域為0＜x＜2．

（2）解：①當OD∥A B時，

∴ = ，

∴ = ，

整理得x2+2x﹣4=0，

∴x=﹣1 （負值舍去），

∴AB= ，這時AB≠OD，符合題意．

∴OC=2﹣ x2=2﹣ （ ﹣1）2= ﹣1．

②當BD∥OA時，設∠ODA=α，

∵BD∥OA，OA=OD，

∴∠BDA=∠OAD=∠ODA=α，

又∵OB=OD，∴∠BOA=∠OBD=∠ODB=2α，

∵AB=AC，OA=OB，

∴∠OAB=∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO=3α，

∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，

∴2α+3α+3α=180°，

∴α=22.5°，∠BOA=45°，

∴∠ODB=∠OBD=45°，∠BOD=90°，

∴BD=2 ，

∵BD∥OA，

∴ = ，

∴ = ，

∴y=2 ﹣2．OC=2 ﹣2，

由于BD≠OA，OC=2 ﹣2符合題意．

∴當四邊形ABDO是梯形時，線段OC的長為 ﹣1或2 ﹣2．

【解析】（1）由△ABC∽△OAB，推出 = ，可得 = ，推出BC= x2，由OC=OB﹣BC，可得y關于x的函數解析式y=2﹣ x2；（2）分兩種情形討論①當OD∥A B時，②當BD∥OA時，分別想辦法構建方程解決問題；