Question

【題目】如圖，在四邊形ACBM中，∠C=∠M=90°，∠CAB=∠MAB=60°，將△ABM繞點A順時針旋轉α（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜邊AE交BC于點F，直角邊DE分別交AB，BC于點G，H．

（1）求證：△ACB≌△AMB；
（2）若α=30°，求證：四邊形ADHC是正方形；
（3）若∠AFG=70°，求α的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：△ACB與△AMB中，

，

∴△ACB≌△AMB（AAS）

（2）

證明：當α=30°時，∠MAD=30°，

∵∠CAB=∠MAB=60°，

∴∠GAD=30°，

∴∠CAD=90°．

∴四邊形ADHC是矩形．

∵△ACB≌△AMB，

∴AC=AM=AD，

∴四邊形ADHC是正方形

（3）

解：如圖，

連接FG，

∵∠CAF+∠FABF=∠GAD+∠FAB，

∴∠CAF=∠GAD，

在△ACF和△ADG中，

，

∴△ACF≌△ADG（ASA），

∴AF=AG，

∴∠AGF=∠AFG=70°，

∴α=40°．

【解析】（1）根據已知利用全等三角形的判定定理AAS定理可得結論；（2）由旋轉可知∠MAD=30°，利用角的加減可得∠GAD=30°，易得∠CAD=90°，又因為∠C=∠D=90°，由矩形的判定定理可知四邊形ADHC是矩形，由全等三角形的性質和旋轉的性質可得AC=AD，利用正方形的判定定理可得結論；（3）連接FG，利用全等三角形的性質和旋轉的性質可得∠CAB=∠DAE，易得∠CAF=∠ADG，易得△ACF≌△ADG，由全等三角形的性質定理可得AF=AG，利用三角形的內角和定理可得結果．