Question

【題目】如圖1，二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象過點A（3，0），B（0，4）兩點，動點P從A出發，在線段AB上沿A→B的方向以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD⊥y于點D，交拋物線于點C．設運動時間為t（秒）．

（1）求二次函數y=﹣x2+bx+c的表達式；
（2）連接BC，當t= 時，求△BCP的面積；
（3）如圖2，動點P從A出發時，動點Q同時從O出發，在線段OA上沿O→A的方向以1個單位長度的速度運動．當點P與B重合時，P、Q兩點同時停止運動，連接DQ，PQ，將△DPQ沿直線PC折疊得到△DPE．在運動過程中，設△DPE和△OAB重合部分的面積為S，直接寫出S與t的函數關系及t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c中得：

解得 ，

∴二次函數y=﹣x2+bx+c的表達式為：y=﹣x2+ x+4

（2）

解：如圖1，

當t= 時，AP=2t，

∵PC∥x軸，

∴ ，

∴ ，

∴OD= = × = ，

當y= 時， =﹣x2+ x+4，

3x2﹣5x﹣8=0，

x1=﹣1，x2= ，

∴C（﹣1， ），

由 得 ，

則PD=2，

∴S△BCP= ×PC×BD= ×3× =4

（3）

解：如圖3，

當點E在AB上時，

由（2）得OD=QM=ME= ，

∴EQ= ，

由折疊得：EQ⊥PD，則EQ∥y軸

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

同理得：PD=3﹣ ，

∴當0≤t≤ 時，S=S△PDQ= ×PD×MQ= ×（3﹣ ）× ，

S=﹣ t2+ t；

當 ＜t≤2.5時，

如圖4，

P′D′=3﹣ ，

點Q與點E關于直線P′C′對稱，則Q（t，0）、E（t， ），

∵AB的解析式為：y=﹣ x+4，

D′E的解析式為：y= x+ t，

則交點N（ ， ），

∴S=S△P′D′N= ×P′D′×FN= ×（3﹣ ）（ ﹣ ），

∴S= t2﹣ t+ ．

【解析】（1）直接將A、B兩點的坐標代入列方程組解出即可；（2）如圖1，要想求△BCP的面積，必須求對應的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用點P和點C的橫坐標求出，要注意符號；（3）分兩種情況討論：①△DPE完全在△OAB中時，即當0≤t≤ 時，如圖2所示，重合部分的面積為S就是△DPE的面積；②△DPE有一部分在△OAB中時，當 ＜t≤2.5時，如圖4所示，△PDN就是重合部分的面積S．本題是二次函數的綜合題，考查了利用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式，并能利用方程組求出兩圖象的交點，把方程和函數有機地結合在一起，使函數問題簡單化；同時考查了分類討論的思想，這一思想在二次函數中經常運用，要熟練掌握；本題還與相似結合，利用相似三角形對應邊的比來表示線段的長．