Question

【題目】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度數． 小明的解題思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質，可得∠APC=50°+60°=110°．

問題遷移：
（1）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．試判斷∠CPD、∠α、∠β之間有何數量關系？ 請說明理由；
（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（2）解：當P在BA延長線時，∠CPD=∠β﹣∠α；

理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；

當P在AB延長線時，∠CPD=∠α﹣∠β．

理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．

【解析】（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）畫出圖形（分兩種情況：①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【考點精析】掌握平行線的性質是解答本題的根本，需要知道兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．