Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點D，點O是AB上一點，⊙O過B、D兩點，且分別交AB、BC于點E、F．

(1) 求證：AC是⊙O的切線；

(2) 已知AB=10，BC=6，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連半徑OD證垂直即可，利用BD平分∠ABC，OD=OB，可以推出∠ODB=∠DBC．得到OD∥BC，又因為∠C = 90°，所以∠ADO = 90°，從而得出結論；（2）因為OD∥BC，所以△AOD∽△ABC．得出對應線段成比例，即，代入數據得，于是求出半徑r.

試題解析：（1）連接OD． ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC．∴OD∥BC，又∵∠C = 90°，∴∠ADO = 90°.∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切線；（2）由（1）知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC．∴，即．解得，即⊙O的半徑r為．