Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長(zhǎng)為（ ）
A.2
B.4
C.4
D.8

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵AE為∠DAB的平分線， ∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F為DC的中點(diǎn)，
∴DF=CF，
∴AD=DF= DC= AB=2，
在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：AG= ，
則AF=2AG=2 ，
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
則AE=2AF=4 ．
故選：B
由AE為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD與BE平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，等量代換及等角對(duì)等邊得到AD=DF，由F為DC中點(diǎn)，AB=CD，求出AD與DF的長(zhǎng)，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點(diǎn)，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長(zhǎng)．