Question

【題目】兩個三角板ABC，DEF，按如圖所示的位置擺放，點B與點D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上（假設圖形中所有的點，線都在同一平面內）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．現固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當點C落在邊EF上時停止運動．設三角板平移的距離為x（cm），兩個三角板重疊部分的面積為y（cm2）．

（1）當點C落在邊EF上時，x=　cm；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）設邊BC的中點為點M，邊DF的中點為點N．直接寫出在三角板平移過程中，點M與點N之間距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1所示：作CG⊥AB于G點．

，

在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得

BC==6．

在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=9．

四邊形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，

故答案為：15；

（2）

解：①當0≤x＜6時，如圖2所示．

，

∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得

DG=x，BG=x，重疊部分的面積為y=DGBG=×x×x=x2

②當6≤x＜12時，如圖3所示．

，

BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．

重疊部分的面積為y=S△BDG﹣S△BEH=DGBG﹣BEEH，

即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）

化簡，得y=﹣x2+2x﹣6；

③當12＜x≤15時，如圖4所示．

，

AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），

重疊部分的面積為y=S△ABC﹣S△BEG=ACBC﹣BEEG，

即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），

化簡，得y=18﹣（x2﹣12x+36）=﹣x2+2x+12；

綜上所述：y=；

（3）

解：如圖5所示作NG⊥DE于G點．

，

點M在NG上時MN最短，

NG是△DEF的中位線，

NG=EF=．

MB=CB=3，∠B=30°，

MG=MB=，

MN最小=3﹣=．

【解析】（1）根據銳角三角函數，可得BG的長，根據線段的和差，可GE的長，根據矩形的性質，可得答案；
（2）分類討論：①當0≤t＜6時，根據三角形的面積公式，可得答案；②當6≤t＜12時，③當12＜t≤15時，根據面積的和差，可得答案；
（3）根據點與直線上所有點的連線中垂線段最短，可得M在線段NG上，根據三角形的中位線，可得NG的長，根據銳角三角函數，可得MG的長，根據線段的和差，可得答案．
此題考查了圖形的移動變換，涉及知識點有矩形的性質，銳角三角函數，三角形面積公式，中垂線性質，中位線性質等.