Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，E是CD上的一點，連接BE交AC于O，連接DO并延長交BC于E．

（1）求證：△FOC≌△EOC;
（2）將此圖中的AD、BE分別延長交于點N，作EM∥BC交CN于M，再連接FM即得到圖2．
求證：①；②FD=FM．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=CD，∠BCA=∠DCA，BC∥AD，

在△BCO和△DCO中，

，

∴△BCO≌△DCO（SAS），

∴∠CBO=∠CDO，

在△BEC和△DFC中，

，

∴△BEC≌△DFC（ASA），

∴EC=FC，

在△FOC和△EOC中，

，

∴△FOC≌△EOC（SAS）

（2）

如圖2所示，

∵EM∥BC，BC∥AD，

∴EM∥BC∥AD

∴，，

∴，

∵CE=CF，CD=CB

∴，

∴；

∵

∴FM∥BN

∵EM∥BC

∴四邊形FMEB為平行四邊形

∴FM=BE

∵BE=DF

∴FD=FM．

【解析】（1）可以通過多組三角形全等證得，先根據SAS證明△BCO≌△DCO，得到∠CBO=∠CDO，然后根據ASA證明△BEC≌△DFC，進而可得CF=CE，然后根據SAS即可證明△FOC≌△EOC；
（2）利用EM∥BC來轉化比：，由BC∥AD，可得EM∥AD，可得，進而可得：，再利用CE=CF，CD=CB，即可得證；
由，得到FM∥BN，再利用EM∥BC，得到四邊形FMEB為平行四邊形，從而FM=BE=FD．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質和相似三角形的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．