Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2，以點A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點E，交AB于點F.

(1)求∠ABE的大小及弧DEF的長度；

(2)在BE的延長線上取一點G，使得弧DE上的一個動點P到點G的最短距離為2－2，求BG的長．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE=45°，；（2）4．

【解析】（1）連接AE，如圖1，根據圓的切線的性質可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，進而得到∠DAB，然后運用圓弧長公式就可求出的長度；

（2）如圖2，根據兩點之間線段最短可得：當A、P、G三點共線時PG最短，此時AG=AP+PG=2=AB，根據等腰三角形的性質可得BE=EG，只需運用勾股定理求出BE，就可求出BG的長．

（1）連接AE，如圖1．

∵AD為半徑的圓與BC相切于點E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．

在Rt△AEB中，sin∠ABE===，∴∠ABE=45°．

∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴的長度為=；

（2）如圖2，根據兩點之間線段最短可得：

當A、P、G三點共線時PG最短，此時AG=AP+PG=2+2﹣2=2，AB=2，∴AG=AB．

∵AE⊥BG，∴BE=EG．

∵BE===2，∴EG=2，∴BG=4．