Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知等腰梯形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A（-2，0），B（6，0），C（4，6），對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E．

（1）求E的坐標(biāo)；

（2）若M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求MC+MD的最小值；

（3）在y軸正半軸上求點(diǎn)P，使以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1) 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）；(2) ；(3) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，6+），（0，6-），（0，2），（0，）．

【解析】

試題分析：（1）作EF⊥AB，根據(jù)已知，可得出OD=6，F(xiàn)B=4，OF=2，然后，根據(jù)相似，即可求出EF的長，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，則D′的坐標(biāo)為（0，-6），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，算出即可；

（3）設(shè)點(diǎn)P（0，y），y＞0，分三種情況，①PC=BC；②PB=BC；③PB=PC；解答出即可；

試題解析：（1）作EF⊥AB，

∴，

∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴AE=BE，

∴在等腰三角形ABE中，AF=BF，

∵A（-2，0），B（6，0），C（4，6），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，6），

∴OD=6，F(xiàn)B=4，OF=2，

∴，

∴EF=4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）；

（2）由題意可得，

點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，-6），

CD′與x軸的交點(diǎn)為M，

∴此時(shí)，MC+MD=CD′為最小值，

∴CD′=；

（3）設(shè)點(diǎn)P（0，y），y＞0，

分三種情況，①PC=BC；

∴42+（6-y）2=22+62，

解得，y=6±；

②PB=BC；

∴62+y2=22+62，

解得，y=2，y=-2（舍去）；

③PB=PC；

∴62+y2=42+（6-y）2，

解得，y=；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，6+），（0，6-），（0，2），（0，）．