Question

【題目】在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，過點D作DF⊥BC，交AB的延長線于E，垂足為F．
（1）如圖①，求證直線DE是⊙O的切線；
（2）如圖②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C．

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO．

∴∠C=∠ADO．

∴OD∥BC．

∵DF⊥BC，

∴∠ODE=90°．

∴直線DE是⊙O的切線；

（2）解：連接DB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

∵AB=BC，

∴AD=DC．

∵AC=8，

∴AD=4．

在Rt△ADB中，BD= = =3，

∵DG⊥AB于H，

由三角形面積公式，得ABDH=ADDB．

∴DH= = ，

∵AB⊥DG，

∴DG=2DH=

【解析】（Ⅰ）連接OD，由AB=BC，OA=OD，得到∠A=∠C，∠A=∠ADO，則∠C=∠ADO，得到OD∥BC；而DF⊥BC，則∠ODE=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；（Ⅱ）連接BD，AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理的推論得到∠ADB=90°．而AB=BC，則AD=DC=4．在Rt△ADB中，利用勾股定理可計算出BD=3，再利用等積法得到ABDH=ADDB，可計算出DH，然后根據垂徑定理得到DG=2DH．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和圓周角定理，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能得出正確答案．