Question

【題目】平面內有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直線MN，過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖①），易證：AF+BF=2CE；當三角板繞點A順時針旋轉至圖②、圖③的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，請直接寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】

圖2成立

過點C作CD⊥BF，交FB的延長線于點D

證出△AEC≌△BDC，∴CE＝CD，AE＝BD

證出四邊形CEFD是正方形，∴CE＝EF＝DF

∴AF＋BF＝AE＋EF＋DF－BD，AF＋BF＝2CE

圖3不成立

應為AF－BF＝2CE

【解析】

過B作BH⊥CE與點H，易證△ACE≌△CBH，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得AF+BF=2CE．

圖2，AF+BF=2CE仍成立，

證明：過B作BH⊥CE于點H，

∵∠BCH+∠ACE=90°，

又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠BCH，

又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°

∴△ACE≌△CBH．

∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，

∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．

圖3中，過點C作CG⊥BF，交BF延長線于點G，

∵AC=BC，

可得∠AEC=∠CGB，

∠ACE=∠BCG，

∴△CBG≌△CAE，

∴AE=BG，

∵AF=AE+EF，

∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，

∴AF-BF=2CE．