Question

【題目】如圖，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直線BD與AE交于點F，交AC于點G，連接CF．

（1）求證：△ACE≌△BCD；

（2）求證：BF⊥AE；

（3）請判斷∠CFE與∠CAB的大小關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠CFE＝∠CAB，見解析

【解析】

（1）根據垂直的定義得到∠ACB＝∠DCE＝90°，由角的和差得到∠BCD＝∠ACE，即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到∠CBD＝∠CAE，根據對頂角的性質得到∠BGC＝∠AGE，由三角形的內角和即可得到結論；

（3）過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，根據全等三角形的性質得到AE＝BD，S△ACE＝S△BCD，根據三角形的面積公式得到CH＝CI，于是得到CF平分∠BFH，推出△ABC是等腰直角三角形，即可得到結論．

（1）證明：∵BC⊥CA，DC⊥CE，

∴∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠BCD＝∠ACE，

在△BCD與△ACE中，

，

∴△ACE≌△BCD；

（2）∵△BCD≌△ACE，

∴∠CBD＝∠CAE，

∵∠BGC＝∠AGE，

∴∠AFB＝∠ACB＝90°，

∴BF⊥AE；

（3）∠CFE＝∠CAB，

過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，

∵△BCD≌△ACE，

∴，

∴CH＝CI，

∴CF平分∠BFH，

∵BF⊥AE，

∴∠BFH＝90°，∠CFE＝45°，

∵BC⊥CA，BC＝CA，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝45°，

∴∠CFE＝∠CAB．