Question

【題目】正方形ABCD內接于⊙O，如圖所示，在劣弧 上取一點E，連接DE、BE，過點D作DF∥BE交⊙O于點F，連接BF、AF，且AF與DE相交于點G，求證：
（1）四邊形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵正方形ABCD內接于⊙O，

∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，

又∵DF∥BE，

∴∠EDF+∠BED=180°，

∴∠EDF=90°，

∴四邊形EBFD是矩形．

（2）

證明：∵正方形ABCD內接于⊙O，∴ 的度數是90°，

∴∠AFD=45°，

又∵∠GDF=90°，

∴∠DGF=∠DFC=45°，

∴DG=DF，

又∵在矩形EBFD中，BE=DF，

∴BE=DG．

【解析】（1）直接利用正方形的性質、圓周角定理結合平行線的性質得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，進而得出答案；
　　　　（2）直接利用正方形的性質 的度數是90°，進而得出BE=DF，則BE=DG．此題主要考查了正方形的性質以及圓周角定理和矩形的判定等知識，正確應用正方形的性質是解題關鍵．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用矩形的判定方法和正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．