Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD，BE，BC于點P，O，Q，連接BP，EQ．

（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；

（2）F為AB的中點，則線段OF與線段AE有什么位置關系和數量關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若AB＝6，OF＝4，求PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）PQ＝．

【解析】

（1）先根據線段垂直平分線的性質證明QB=QE，由ASA證明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，證出四邊形BPEQ是平行四邊形，再根據菱形的判定即可得出結論；

（2）根據中位線定理即可求出線段OF與線段AE的位置關系和數量關系.

（3）根據勾股定理求出OB的長度，進而求出BE, 設菱形的邊長為x，則AP＝8﹣x．

在Rt△APB中，根據勾股定理列出方程，求出邊長，根據菱形的面積公式進行求解即可.

（1）證明：∵PQ垂直平分BE，

∴PB＝PE，OB＝OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PEO＝∠QBO，

在△BOQ與△EOP中，∠PEO＝∠QBO，OB＝OE，∠POE＝∠QOB，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE＝QB，

又∵AD∥BC，

∴四邊形BPEQ是平行四邊形，

又∵QB＝QE，

∴四邊形BPEQ是菱形；

（2）∵四邊形BPEQ是菱形，

∴OB＝OE．

又∵F是AB的中點，

∴OF是△BAE的中位線，

∴AE∥OF且OF＝AE．

（3）∵AB＝6，F是AB的中點，

∴BF＝3．

∵OF∥AE，

∴∠BFO＝90°．

在Rt△FOB中，

∴BE＝10．

設菱形的邊長為x，則AP＝8﹣x．

在Rt△APB中，BP2＝AB2+AP2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝．

由菱形的面積公式可知： 解得：PQ