Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=AB．

（1）求證：EF⊥AG；

（2）若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只寫結果，不需說明理由）？

（3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內一點，當，求△PAB周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質得出AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，證出，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性質得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余關系和三角形內角和定理證出∠AOE=90°即可；

（2）證明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余關系和三角形內角和定理即可得出結論；

（3）過O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，則MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面積關系得出點P在線段MN上，當P為MN的中點時，△PAB的周長最小，此時PA=PB，PM=MN=2，連接EG，則EG∥AB，EG=AB=4，證明△AOF∽△GOE，得出 =，證出 =，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，∵點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=AB，∴ =， =，∴，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG；

（2）解：成立；理由如下：

根據題意得： =，∵ =，∴=，又∵∠EAF=∠ABG，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG；

（3）解：過O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如圖所示：

則MN⊥AD，MN=AB=4，∵P是正方形ABCD內一點，當S△PAB=S△OAB，∴點P在線段MN上，當P為MN的中點時，△PAB的周長最小，此時PA=PB，PM=MN=2，連接EG、PA、PB，則EG∥AB，EG=AB=4，∴△AOF∽△GOE，∴=，∵MN∥AB，∴ =，∴AM=AE=×2=，由勾股定理得：PA= =，∴△PAB周長的最小值=2PA+AB=．