Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+2與拋物線y=a（x+2）2相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，M為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；

（2）若P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（A、B兩端點(diǎn)除外），連接PM，設(shè)線段PM的長(zhǎng)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，請(qǐng)求出與x之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點(diǎn)P，使以A、M、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）、A（0,2）；y=；（2）、；﹣5＜x＜0；（3）、P1（﹣4，4）、P2（﹣，）、P3（﹣，）

【解析】

試題分析：（1）、根據(jù)一次函數(shù)的交點(diǎn)得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得出拋物線的解析式；（2）、連接PM，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)P的坐標(biāo)是（x，﹣x+2），根據(jù)Rt△PDM的勾股定理得出函數(shù)解析式；（3）、首先求出AM=2，然后分PM=PA，PM=AM和PA=AM三種情況列出方程，從而求出x的值，得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：（1）、A的坐標(biāo)是（0，2） 拋物線的解析式是y=（x+2）2

（2）、如圖，P為線段AB上任意一點(diǎn)，連接PM

過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D 設(shè)P的坐標(biāo)是（x，﹣x+2），則在Rt△PDM中PM2=DM2+PD2

即l2=（﹣2﹣x）2+（﹣x+2）2=x2+2x+8

P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故自變量x的取值范圍為：﹣5＜x＜0，

（3）、存在滿足條件的點(diǎn)P 連接AM，由題意得：AM==2

①當(dāng)PM=PA時(shí)，x2+2x+8=x2+（﹣x+2﹣2）2

解得：x=﹣4 此時(shí)y=﹣×（﹣4）+2=4

∴點(diǎn)P1（﹣4，4）

②當(dāng)PM=AM時(shí)，x2+2x+8=（2）2

解得：x1=﹣ x2=0（舍去）

此時(shí)y=﹣×（﹣）+2=

∴點(diǎn)P2（﹣，）

③當(dāng)PA=AM時(shí)，x2+（﹣x+2﹣2）2=（2）2

解得：x1=﹣ x2=（舍去）

此時(shí)y=﹣×（﹣）+2=

∴點(diǎn)P3（﹣，）

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)為：

P1（﹣4，4）、P2（﹣，）、P3（﹣，）