Question

【題目】如圖1，等腰中，，為中點，連接，

（1）求證：是等邊三角形

（2）如圖2，在內有一點，連接、、，若，求的度數

（3）如圖3，在（2）的條件下，在外有一點，連接、、若，，，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）150°；（3）6.

【解析】

(1)構造△CDE≌△BDA，可得∠E=∠CAD=∠BAD， AC=EC，故AB=EC=AC=BC，即可解答.

（2）以AD為邊作等邊△ADE，連接EC，易證△ABD≌ACE，EC=BD，由已知可得Rt△EDC，從而∠ADC=60°+90°=150°；

（3）作2倍角的平分線構造全等三角形，Rt△AGC≌Rt△AHC≌Rt△AHF；由∠ADC=150°可得∠CDG=30°，可知CG=CH=HF=CD，從而得到△CEF為等腰三角形，由△CFE∽△ACF可得，即可計算AF長，由AF=AC=AB即可解答.

（1）證明：延長AD到E，使DE=AD，

在△CDE和△ABD中

∴△CDE≌△BDA（SAS）

∴∠E=∠BAD，AB=CE，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠C，

又∵，∠BAC=∠BAD+CAD，

∴∠E=∠CAD，

∴AC=CE，

∴AC=AB=BC，即是等邊三角形

（2）以AD為邊作等邊△ADE，連接EC，

∵∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△AEC中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴EC=BD，

在等邊三角形ADE中，AD=DE，∠ADE=60°，

∵，

∴，

∴∠EDC=90°，

∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+90°=150°

（3）作∠CAE平分線AH，過C點作CG⊥AD交AD延長線于G點，作CH⊥AH交AH于H點，交AE延長線與F點，

由（2）得，∠ADC=150°，

∴∠CDG=30°，

∴CG=CD，

∵∠CAE=2∠CAD，

∴∠CAG=∠CAH，

又∵CG⊥AD, CH⊥AH，易證△AGC≌△AHC≌△AHF；

∴GC=HC=HF，∠ACF=∠F，AB=AF，

∵CD=CE，CF=2CG=CD，

∴CE=CF，

∴∠CEF=∠EFC，

又∵∠F=∠F，

∴△CFE∽△ACF

∴，

∵AE=4，CE=CF=2，AF=4+EF

∴EF=2，

∴AB=AC=AF=4+2=6