Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線，且與對角線AC分別相交于點E、F．
（1）求證：AE=CF；
（2）連結ED、FB，判斷四邊形BEDF是否是平行四邊形，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，∠ABC=∠CDA，AB∥CD∴∠BAC=∠DCA，

∵BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線，

∴∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC

∴∠ABE=∠CDF，

∴△ABE≌△CDF （ASA），

∴AE=CF

（2）是平行四邊形；

連接BD交AC于O，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，BO=DO

∵AE=CF，

∴AO﹣AE=CO﹣CF．

即EO=FO．

∴四邊形BEDF為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．

【解析】（1）根據角平分線的性質先得出∠BEC=∠DFA，然后再證∠ACB=∠CAD，再證出△ABE≌△CDF，從而得出AE=CF；（2）連接BD交AC于O，則可知OB=OD，OA=OC，又AE=CF，所以OE=OF，然后依據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．