Question

【題目】在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，連接AC、BC，AC=BC，AB=CD．
（1）如圖1，求證：BE平分∠CBD；
（2）如圖2，F為BC上一點，連接AF交CD于點G，當∠FAB= ∠ACB時，求證：AC=BD+2CF；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若S△ACF=S△CBD ， ⊙O的半徑為3 ，求線段GD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=CD，

∴ = ，

∴ = ，

∵AC=BC，

∴ = ，

∴ = ，

∴∠ABC=∠ABD，

∴BE平分∠CBD

（2）證明：

如圖2，在線段BF上取點H，使FH=FC，連接AH，AD，

∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，

∵在△ABC中，∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°，

∴∠CBA+ ∠ACB=90°，

∵∠FAB= ∠ACB，

∴∠FAB+∠CBA=90°，

∴∠AFB=90°，

∴AF⊥CH，

∵CF=FH，

∴AC=AH，

∴∠ACB=∠AHC，

∵A、C、B、D四點在⊙O上，

∴∠ACB+∠ADB=180°，

∵∠AHC+∠AHB=180°，

∴∠AHB=∠ADB，

∵∠ABC=∠ABD，AB=AB，

在△AHB與△ADB中，

，

∴△AHB≌△ADB，

∴BD=BH，

∵AC=BC=CF+FH+HB，

∴AC=BD+2CF

（3）解：如圖3，過點C作CK⊥BD于點K，作直徑CM，連接AM，

∵∠CBA=∠CAB=∠ABD，

∴AC∥BD，

∴∠CBK=∠ACB，∠CKB=∠AFC，AC=BC，

在△AFC與△CKB中， ，

∴△AFC≌△CKB，

∴S△AFC=S△CKB=S△CBD，

∴BD=BK=CF，

∵AC=BD+2CF，

∴AC=3CF=3BD，

設BD=CF=k，則AC=BC=3k，BF=2k，

在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF=2 k，

在Rt△AFB中，tan∠FBA= ，

∵CM為⊙O的直徑，

∴∠CAM=90°，

∵∠CMA=∠CBA，

在Rt△ACM中，AC=3k，tan∠CMA= ，CM=6 ，

∴AM= k，

由勾股定理得：（3k）2+（ ）2=（6 ）2，

∴k=4，

∴AC=12，CF=4，AF=8 ，

在Rt△ACF中，tan∠CAF= ，tan∠ACD= ，AC=12，

∴CG= ，

在Rt△AFB中，AF=8 ，FB=8，

由勾股定理得：AB=CD=8 ，

∴DG= ．

【解析】（1）由AB=CD，得到 = ，由AC=BC，得到 = ，于是得到 = ，根據圓周角定理即可證得結論．（2）根據全等三角形的性質得到∠CAB=∠CBA，根據三角形的內角和得到∠CBA+ ∠ACB=90°推出AF⊥CH，得到∠ACB=∠AHC，根據圓內接四邊形的性質得到∠ACB+∠ADB=180°，等量代換得到∠AHB=∠ADB，根據全等三角形的性質得到BD=BH，即可得到結論；（3）根據已知條件得到AC∥BD，根據平行線的性質得到∠CBK=∠ACB，∠CKB=∠AFC，推出△AFC≌△CKB，于是得到S△AFC=S△CKB=S△CBD ， 等量代換得到AC=3CF=3BD，設BD=CF=k，則AC=BC=3k，BF=2k，根據勾股定理得到AF=2 k，由圓周角定理得到∠CAM=90°，解直角三角形得到AM= k，根據勾股定理列方程得到AC=12，CF=4，AF=8 ，解直角三角形即可得到結論．