Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點O，點A（0，6），經過點A、O、B三點的⊙P與直線l相交于點C（7，7），且CA＝CB.

⑴ 求點B的坐標；

⑵ 如圖2，將△AOB繞點B按順時針方向旋轉90°得到△A′O′B.判斷直線與⊙P的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】⑴點B（8，0） ⑵ 直線A′O′與⊙P相切

【解析】試題分析：（1）過點C作CE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F.

可以由已知坐標求出AF長，Rt△ACF≌Rt△BCE,可以求出BE＝AF，得到OB長.

(2) AB的中點即為圓心P,取OB的中點R，連接RP并延長交A′O′的延長線于點Q,利用旋轉條件，RP⊥A′O′.,最終得到四邊形RBO′Q是矩形, 圓心P到直線A′O′的距離，和半徑相等，所以可以得到直線A′O′與⊙P相切.

⑴ 過點C作CE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F.

∴ ∠CFO＝∠CEO＝∠CEB=90°,∵ ∠AOB＝90°,

∴ 四邊形FOEC是矩形 ,

∴ ∠FCE＝90° ,

∴ ∠ACE＋∠ACF＝90°,

由點C（7，7）得：CF＝CE＝7,

∴ ∠AOC＝∠BOC＝45°，OF＝CE＝7，OE＝CF＝7,

∴ ∠CBA＝∠COA＝45°，∠CAB＝∠COB＝45°,

∴ ∠CAB＝∠CBA , ∴ AC＝BC.

∵ 點A（0，6） ,∴ OA＝6,

∴ AF＝OF－OA＝7－6＝1 .

∵ ∠AOB＝90° , ∴ AB為⊙P的直徑 ,

∴ ∠ACB＝90°,

∴ ∠ACE＋∠BCE＝90°,

∴ ∠ACF＝∠BCE .

在Rt△ACF和Rt△BCE中,

,

∴ Rt△ACF≌Rt△BCE,

∴ BE＝AF＝1,

∴ OB＝OE＋EB＝7＋1＝8,

∴ 點B（8，0） .

⑵ 直線A′O′與⊙P相切.

如圖2，由AB是⊙P的直徑可知：AB的中點即為圓心P,

取OB的中點R，連接RP并延長交A′O′的延長線于點Q,,

∴ PR∥OA，PR＝＝3 ,

∵ ∠AOB＝90° ∴ ∠QRB＝90°,

∵ △A′O′B′由△AOB繞點B按順時針方向旋轉90°得到,

∴ ∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝8,

∵ ∠AO′B＝90° ∴ ∠BO′Q＝90° 即：RP⊥A′O′.

∴ 四邊形RBO′Q是矩形,

∴ ∠O′QR＝90°，RQ=BO′＝8 ,

∴ PQ＝RQ－PR＝8－3＝5,

∵ ⊙P的直徑AB＝10,

∴ 圓心P到直線A′O′的距離等于半徑長5,

∴直線A′O′與⊙P相切.