Question

如圖，以AB為直徑的⊙O經過點C，D是AB延長線上一點，且DC=AC，∠CAB=30°
小題1:試判斷CD所在的直線與⊙O的位置關系，并說明理由
小題2:若AB=2，求陰影部分的面積

Answer 1

小題1:CD與⊙O相切    ………………………………………………………    1分
理由如下：連接OC

∵OA=OC，∠CAB=30°………………     2分
∴∠ACO=∠CAB=30°
又∵AC=BC，∴∠ACD=180°-2∠CAB=120°…  3分
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=120°-30°=90°
∴CD與⊙O相切    ………………………  5分
小題2:∵∠COD=2∠CAB=60°，OC=………………………………………  6分
在Rt△OCD中，CD＝OC×tan60°=   …………………………………………  7分
∴  ………………………………………………………  8分
=  ……………………………………  10分

（1）連接OC，證明∠OCD=90°，從而判斷CD與⊙O相切．易證∠A=30°，∠OCD=90°，從而得證；
（2）根據圖中陰影部分的面積等于S△OCD-S扇形OCB可得出答案．