Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，E，F，G，H分別是AD，BC，BD，AC的中點．

（1）證明：EG＝EH；（2）證明：四邊形EHFG是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）利用EG是△ABD的中位線，EH是△ADC的中位線，則有EG＝AB，EH＝CD，又AB＝CD，可證EG＝EH，即可解題.

（2）首先運用三角形中位線定理可得到EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，FE∥DC，從而再根據平行于同一條直線的兩直線平行得到GF∥EH，GE∥FH，可得到GFHE是平行四邊形，再運用三角形中位線定理證明鄰邊相等，從而證明它是菱形．

解：證明：（1）∵四邊形ABCD中，點F、E、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，

∴EG是△ABD的中位線，EH是△ADC的中位線，

∴EG＝AB，EH＝CD，

∵AB＝CD，

∴EG＝EH；

（2）∵四邊形ABCD中，點F、E、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，

∴EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，FE∥DC，

∴GF∥EH，GE∥FH（平行于同一條直線的兩直線平行）；

∴四邊形GFHE是平行四邊形，

∵四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，

∴EG是△ABD的中位線，GF是△BCD的中位線，

∴GE＝AB，GF＝CD，

∵AB＝CD，

∴GE＝GF，

∴四邊形EHFG是菱形．