Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，∠C=30°，點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒（t＞0），過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.

（1）求證：AE=DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由；

（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）能；當t=時，四邊形AEFD為菱形；（3）當或4時，△DEF為直角三角形.

【解析】

（1）在Rt△DFC中利用30度所對的邊是斜邊的一半得到DF=t，故AE=DF；

（2）易證四邊形AEFD為平行四邊形，得到AD=10-2t，菱形必須有AE=AD，列出方程解出t即可；（3）△DEF為直角三角形有三種情況，對三種情況分別進行計算考慮即可

解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t，

又∵AE=t，∴AE=DF；

（2）能；理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，又AE=DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∵AB==5，

∴AC=2AB=10，

∴AD=AC-DC=10-2t，

若使AEFD為菱形，則需AE=AD，即t=10-2t，t=，

即當t=時，四邊形AEFD為菱形；

（3）①∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE，即10-2t=2t，t=；

②∠DEF=90°時，由（2）知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

∵∠A=90°-∠C=60°，

∴AD=AE，即10-2t=t，t=4；

③∠EFD=90°時，此種情況不存在；

綜上所述，當或4時，△DEF為直角三角形.