Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，6），點B的坐標是（6，0）．

（1）如圖1，點C的坐標是（﹣2，0），BD⊥AC于D交y軸于點E．求點E的坐標；

（2）在（1）的條件下求證：OD平分∠CDB；

（3）如圖2，點F為AB中點，點G為x正半軸點B右側一動點，過點F作FG的垂線FH，交y軸的負半軸于點H，那么當點G的位置不斷變化時，S△AFH﹣S△FBG的值是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出相應結果．

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標為（0，2）；（2）詳見解析；（3）S△AFH﹣S△FEG＝9不發生變化，理由詳見解析.

【解析】

（1）易得OA=OB,由∠ACO+∠CAO＝90°，∠BCD+∠CBE＝90°，可得∠CAO＝∠CBE，可證得△AOC≌△BOE，可得OE＝OC，可得E點左邊；

（2）過點O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，由△AOC≌△BOE，可得S△AOC＝S△BOE，由AC＝BE，可得OM＝ON，所以點O一定在∠CDB的角平分線上，即OD平分∠CDB；

（3））S△AFH﹣S△FEG＝9不發生變化，理由如下：連接OF，可證得△FOH≌△FBG，可得

S△AOC＝S△BOE，可得S△AFH﹣S△FBG＝S△AFH﹣S△FOH＝S△FOA＝=9.

解：（1）∵x軸⊥y軸

∴∠AOC＝∠BOE＝90°

∴∠ACO+∠CAO＝90°

∵BD⊥AC

∴∠BCD+∠CBE＝90°

∴∠CAO＝∠CBE，

∵點A，B的坐標分別為（0，6），（6，0）

∴OA＝OB＝6，

在△AOC和△BOE中

∴△AOC≌△BOE（ASA）

∴OE＝OC，

∵點C的坐標為（﹣2，0）

∴OC＝OE＝2

∴點E的坐標為（0，2）

（2）過點O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N

∵△AOC≌△BOE

∴S△AOC＝S△BOE，AC＝BE，

∴ACON＝BCOM

∴OM＝ON，

∴點O一定在∠CDB的角平分線上

即OD平分∠CDB；

（3）S△AFH﹣S△FEG＝9不發生變化，理由如下：

連接OF

∵△AOB是等腰直角三角形且點F為AB的中點

∴OF⊥AB，OF＝FB，OF平分∠AOB

∴∠OFB＝∠OFH+∠HFB＝90°

又∵FG⊥FH

∴∠HFG＝∠BFG+∠HFB＝90°

∴∠OFH＝∠BFG

∵∠FOB＝

∴∠FOH＝∠FOB+∠HOB＝45°+90°＝135°

又∵∠FBG＝180°﹣∠ABO＝180°﹣45°＝135°

∴∠FOH＝∠FBG

在△FOH和△FBG中

∴△FOH≌△FBG（ASA）

∴S△AOC＝S△BOE

∴S△AFH﹣S△FBG

＝S△AFH﹣S△FOH

＝S△FOA＝．