Question

【題目】如圖1,AB是☉O的直徑,C為☉O上一點,直線CD與☉O相切于點C,AD⊥CD,垂足為D.

(1)求證:△ACD∽△ABC.

(2)如圖2,將直線CD向下平移與☉O相交于點C,G,但其他條件不變.若AG=4,BG=3,求tan∠CAD的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OC，求出∠ADC=∠ACB，∠DCA=∠B，根據相似三角形的判定推出即可；

（2）根據圓內接四邊形的性質求解即可.

試題解析：(1)如圖,連接OC,

∵直線CD與☉O相切于C,∴OC⊥CD.

又∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠1=∠2.

∵OC=OA,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.

又∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°.

∴∠ADC=∠ACB.

∴△ACD∽△ABC.

(2)∵四邊形ABGC為☉O的內接四邊形,

∴∠B+∠ACG=180°.

∵∠ACG+∠ACD=180°,∴∠ACD=∠B.

∵∠ADC=∠AGB=90°,∴∠DAC=∠GAB.

在Rt△ABG中,AG=4,BG=3,

∴tan∠GAB==.

∴tan∠DAC=.