Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．

（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，AB=6，BD=2，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；直線BC與⊙O的位置關系為相切，理由見解析；（2）線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為2﹣π．

【解析】試題分析：（1）根據題意得：O點應該是AD垂直平分線與AB的交點；由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問題得證；

（2）設⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關于r的方程，通過解方程即可求得r的值；然后根據扇形面積公式和三角形面積的計算可以求得“線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S△ODB﹣S扇形ODE=2﹣π”．

解：（1）如圖：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

即直線BC與⊙O的切線，

∴直線BC與⊙O的位置關系為相切；

（2）設⊙O的半徑為r，則OB=6﹣r，又BD=2，

在Rt△OBD中，

OD2+BD2=OB2，

即r2+（2）2=（6﹣r）2，

解得r=2，OB=6﹣r=4，

∴∠DOB=60°，

∴S扇形ODE==π，

S△ODB=OD×BD=×2×2=2，

∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S△ODB﹣S扇形ODE=2﹣π．