Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點F，交⊙O于點E，連結CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．

（1）求證：直線CD為⊙O的切線；
（2）若AB=5，BC=4，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，

∴∠CBA=∠ODC，

又∵∠CFD=∠BFO，

∴∠DCB=∠BOF，

∵CO=BO，

∴∠OCF=∠B，

∵∠B+∠BOF=90°，

∴∠OCF+∠DCB=90°，

∴直線CD為⊙O的切線

（2）解：連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠DCO=∠ACB，

又∵∠D=∠B

∴△OCD∽△ACB，

∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，

∴AC=3，

∴ = ，

即 = ，

解得；DC= ．

【解析】（1）利用圓周角定理結合等腰三角形的性質得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；（2）利用圓周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定與性質得出DC的長．