Question

【題目】閱讀材料

如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB，EF的中點均為O，連結BF，CD、CO，顯然點C，F，O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD．
解決問題
（1）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數量關系，并證明你的結論；
（2）如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O，上述（1）中的結論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數量關系；

（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB，EF的中點均為0，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出 的值（用含α的式子表示出來）

Answer 1

【答案】
（1）

解：猜想：BF=CD．理由如下：

如答圖②所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，

∴OB=OC，∠BOC=90°．

∵△DEF為等腰直角三角形，點O為斜邊EF的中點，

∴OF=OD，∠DOF=90°．

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

∵在△BOF與△COD中，

∴△BOF≌△COD（SAS），

∴BF=CD

（2）

解：答：（1）中的結論不成立．

如答圖③所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等邊三角形，點O為邊AB的中點，

∴ =tan30°= ，∠BOC=90°．

∵△DEF為等邊三角形，點O為邊EF的中點，

∴ =tan30°= ，∠DOF=90°．

∴ = = ．

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF與△COD中，

∵ = = ，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴ =

（3）

解：如答圖④所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰三角形，點O為底邊AB的中點，

∴ =tan ，∠BOC=90°．

∵△DEF為等腰三角形，點O為底邊EF的中點，

∴ =tan ，∠DOF=90°．

∴ = =tan ．

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF與△COD中，

∵ = =tan ，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴ =tan

【解析】（1）如答圖②所示，連接OC、OD，證明△BOF≌△COD；（2）如答圖③所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為 ；（3）如答圖④所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為tan ．