Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O 相離，OA⊥l于點A，交⊙O 于點P，點B是⊙O上一點，連接BP并延長，交直線l于點C，使得AB=AC.

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若PC=2，OA=3，求線段PB的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）連結OB，如圖，由等腰三角形的性質得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根據切線的判定定理可得AB是⊙O的切線；

（2）作OH⊥PB于H，如圖，根據垂徑定理得到BH=PH，設⊙O的半徑為r，則PA=OA-OP=3-r，根據勾股定理得到AC2=PC2-PA2=（2）2-（3-r）2，AB2=OA2-OB2=32-r2，所以（2）2-（3-r）2=32-r2，解得r=1，則PA=2，然后證明Rt△APC∽Rt△HPO，利用相似比可計算出PH=，于是得到PB=2PH=．

（1）證明：連結OB，如圖，

∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵OA⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

∵OB=OP，

∴∠4=∠5，

而∠3=∠4，

∴∠5+∠2=90°，

∴∠5+∠1=90°，

即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∵OB為⊙O半徑

∴AB是⊙O的切線；

（2）作OH⊥PB于H，如圖，則BH=PH，

設⊙O的半徑為r，則PA=OA-OP=3-r，

在Rt△PAC中，

AC2=PC2-PA2=（2）2-（3-r）2，

在Rt△OAB中，AB2=OA2-OB2=32-r2，

而AB=AC，

∴（2）2-（3-r）2=32-r2

解得r=1，

∴PA=2，

∵∠3=∠4，

∴Rt△APC∽Rt△HPO，

∴，即，

∴PH=，

∴PB=2PH=．