Question

【題目】如圖，E是正方形ABCD的邊AD上的動點，F是邊BC延長線上的一點，且BF=EF，AB=12，設AE=x，BF=y．

（1）當△BEF是等邊三角形時，求BF的長；

（2）求y與x的函數解析式，并寫出它的定義域；

（3）把△ABE沿著直線BE翻折，點A落在點A′處，試探索：△A′BF能否為等腰三角形？如果能，請求出AE的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0＜x＜12）；（3）能，

【解析】

（1）當△BEF是等邊三角形時，求得∠ABE=30°，則可解Rt△ABE，求得BF即BE的長．

（2）作EG⊥BF，垂足為點G，則四邊形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2=（BF-BG）2+EG2．即y2=（y-x）2+122．故可求得y與x的關系．

（3）當把△ABE沿著直線BE翻折，點A落在點A'處，應有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F=AB=12，有FA′=EF-A′E=y-x=12，繼而結合（2）得到的y與x的關系式建立方程即可求得AE的值．

（1）當△BEF是等邊三角形時，∠EBF=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠A=90°，

∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，

∴BE=2AE，

設AE=x，則BE=2x，

在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，

即122+x2=(2x)2，解得x=

∴AE=，BE=，

∴BF=BE=．

（2）作EG⊥BF，垂足為點G，

根據題意，得EG=AB=12，FG=y-x，EF=y，0＜AE＜12，

在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2=（BF-BG）2+EG2．

∴y2=（y-x）2+122，

∴所求的函數解析式為（0＜x＜12）．

（3）∵AD∥BC

∴∠AEB=∠FBE

∵折疊

∴∠AEB=∠FEB，

∴∠AEB=∠FBE=∠FEB，

∴點A′落在EF上，

∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，

∴要使△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F．

而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，

∴y-x=12．

∴-x=12．

整理得x2+24x-144=0，

解得，

經檢驗：都原方程的根，

但不符合題意，舍去，

當AE=時，△A'BF為等腰三角形．