Question

【題目】對于一個三位正整數t，將各數位上的數字重新排序后（包括本身），得到一個新的三位數 （a≤c），在所有重新排列的三位數中，當|a+c﹣2b|最小時，稱此時的 為t的“最優組合”，并規定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后為：142、214、因為|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124為124的“最優組合”，此時F（124）=﹣1．
（1）三位正整數t中，有一個數位上的數字是另外兩數位上的數字的平均數，求證：F（t）=0
（2）一個正整數，由N個數字組成，若從左向右它的第一位數能被1整除，它的前兩位數能被2整除，前三位數能被3整除，…，一直到前N位數能被N整除，我們稱這樣的數為“善雅數”．例如：123的第一位數1能披1整除，它的前兩位數12能被2整除，前三位數123能被3整除，則123是一個“善雅數”．若三位“善雅數”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y為整數），m的各位數字之和為一個完全平方數，求出所有符合條件的“善雅數”中F（m）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵三位正整數t中，有一個數位上的數字是另外兩數位上的數字的平均數，

∴重新排序后：其中兩個數位上數字的和是一個數位上的數字的2倍，

∴a+c﹣2b=0，即（a﹣b）﹣（b﹣c）=0，

∴F（t）=0；

（2）解：∵m=200+10x+y是“善雅數”，

∴x為偶數，且2+x+y是3的倍數，

∵x＜10，y＜10，

∴2+x+y＜30，

∵m的各位數字之和為一個完全平方數，

∴2+x+y=32=9，

∴當x=0時，y=7，

當x=2時，y=5，

當x=4時，y=3，

當x=6時，y=1，

∴所有符合條件的“善雅數”有：207，225，243，261，

∴所有符合條件的“善雅數”中F（m）的最大值是）=|2﹣4|﹣|4﹣3|=1．

【解析】（1）由三位正整數中，有一個數位上的數字是另外兩數位上的數字的平均數，根據最優組合的定義即可求解；
（2）由三位“善雅數”的定義，可得a為偶數，且2+x+y是3的倍數，且2+x+y＜30，又有m的各位數字之和為一個完全平方數，可得2+x+y=32=9，繼而求得答案。