Question

【題目】在矩形ABCD中，E為CD的中點，H為BE上的一點，=3，連接CH并延長交AB于點G，連接GE并延長交AD的延長線于點F．

（1）求證：；

（2）若∠CGF=90°，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據相似三角形判定的方法，判斷出△CEH∽△GBH，即可推得結論；

（2）作EM⊥AB于M，則EM=BC=AD，AM=DE，設DE=CE=3a，則AB=CD=6a，由（1）得：=3，得出BG=CE=a，AG=5a，證明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性質得出EGEF=DEEC，由平行線證出=，得出EF=EG，求出EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=a，即可得出結果．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴．

（2）解：作EM⊥AB于M，如圖所示：

則EM=BC=AD，AM=DE，∵E為CD的中點，∴DE=CE，設DE=CE=3a，則AB=CD=6a，由（1）得：=3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EGEF=DEEC，∵CD∥AB，∴=，∴=，∴EF=EG，∴EGEG=3a3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==．