Question

【題目】數學活動課上，同學們探究了角平分線的作法．下面給出三個同學的作法：

小紅的作法

如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．

小明的作法 如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線．

小剛的作法 如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過點M，N作OA，OB的垂線，交點為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．

請根據以上情境，解決下列問題

(1)小紅的作法依據是 ．

(2)為說明小明作法是正確的，請幫助他完成證明過程．

證明：∵OM＝ON，OC＝OC， ，

∴△OMC≌△ONC( )(填推理的依據)

(3)小剛的作法正確嗎?請說明理由

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形三線合一定理；（2）CM=CN，邊邊邊；（3）正確，證明見詳解．

【解析】

（1）利用等腰三角形三線合一定理，即可得到結論成立；

（2）利用SSS，即可證明△OMC≌△ONC，補全條件即可；

（3）利用HL，即可證明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到結論成立．

解：（1）∵OM=ON，

∴△OMN是等腰三角形，

∵OP⊥MN，

∴OP是底邊上的高，也是底邊上的中線，也是∠MON的角平分線；

故答案為：等腰三角形三線合一定理；

（2）證明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，

∴△OMC≌△ONC（邊邊邊）；

∴∠MOC=∠NOC，

∴OC平分∠AOB；

故答案為：CM=CN，邊邊邊；

（3）小剛的作法正確，證明如下：

∵PM⊥OA，PN⊥OB，

∴∠OMP=∠ONP=90°，

∵OM=ON，OP=OP，

∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），

∴∠MOP=∠NOP，

∴OP平分∠AOB；

小剛的作法正確．