Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線CE與⊙O相切；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OE．欲證直線CE與⊙O相切，只需證明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；

（2）在直角三角形ABC中，根據三角函數的定義可以求得AB=，然后根據勾股定理求得AC=，同理知DE=1；

方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理列出關于r的方程，從而易得r的值；

方法二、過點O作OM⊥AE于點M，在Rt△AMO中，根據三角函數的定義可以求得r的值．

試題解析：（1）直線CE與⊙O相切．理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE；連接OE，則∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠AE0+∠DEC=90°，∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．

又OE是⊙O的半徑，∴直線CE與⊙O相切．

（2）∵tan∠ACB==，BC=2，∴AB=BCtan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DCtan∠DCE=1；

方法一：在Rt△CDE中，CE==，連接OE，設⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，，即，解得：r=；

方法二：AE=AD﹣DE=1，過點O作OM⊥AE于點M，則AM=AE=，在Rt△AMO中，OA===.