Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=5，BF=8，AD=，則ABCD的面積是______．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）36.

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質和角平分線的性質證明∠BAE=∠BEA，從而可得AB=BE，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四邊形ABEF是菱形；（2）過A作AH⊥BE，根據菱形的性質可得AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的長，進而可得AE長，利用菱形的面積公式計算出AH的長，然后可得ABCD的面積．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵∠BAD的平分線交BC于點E，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

同理：AB=AF，

∴AF=BE，

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB=AF

∴四邊形ABEF是菱形．

（2）過A作AH⊥BE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，

∵BF=8，

∴BO=4，

∴AO==3，

∴AE=6，

∴S菱形ABEF=AEBF=×6×8=24，

∴BEAH=24，

∴AH=，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD=，

∴S平行四邊形ABCD=×=36，

故答案為：36．