Question

【題目】【問題情境】一節數學課后，老師布置了一道課后練習題：

如圖：已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，點E、F分別在A和BC上，∠1=∠2，FG⊥AB于點G，求證：△CDE≌△EGF．

（1）閱讀理解，完成解答

本題證明的思路可用下列框圖表示：

根據上述思路，請你完整地書寫這道練習題的證明過程；

（2）特殊位置，證明結論

若CE平分∠ACD，其余條件不變，求證：AE=BF；

（3）知識遷移，探究發現

如圖，已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，若點E是DB的中點，點F在直線CB上且滿足EC=EF，請直接寫出AE與BF的數量關系．（不必寫解答過程）

Answer 1

【答案】(1)證明過程見解析；(2)證明過程見解析；(3)AE=BF.

【解析】

試題分析：(1)先證明CE=EF，根據AAS即可證明△CDE≌△EGF；(2)先證∠ACE=∠2，再證明△ACE≌△BEF，即可得出AE=BF；(3)作EH⊥BC與H，設DE=x，求出AE=3x，再證出BF=x，即可得出結論．

試題解析：(1)∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°，

∴∠DCB=45°， ∵∠ECF=∠DCB+∠1=45°+∠1，∠EFC=∠B+∠2=45°+∠2，∠1=∠2， ∴∠ECF=∠EFC，

∴CE=EF， ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴∠CDE=∠EGF=90°，

在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；

(2)由(1)得：CE=EF，∠A=∠B， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠1， ∵∠1=∠2，∴∠ACE=∠2，

在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE=BF；

(3)AE=BF，作EH⊥BC與H，如圖3所示：

設DE=x，根據題意得：BE=DE=x，AD=BD=2x，CD=AD=2x，AE=3x， 根據勾股定理得：BC=AC=2x，

∵∠ABC=45°，EH⊥BC， ∴BH=x， ∴CH=BC﹣BH=x， ∵EC=EF， ∴FH=CH=x，

∴BF=x﹣x=x， ∴， ∴AE=BF．