Question

如圖，在直角坐標系中，A點坐標為（0，6），B點坐標為（8，0），點P沿射線BO以每秒2個單位的速度勻速運動，同時點Q從A到O以每秒1個單位的速度勻速運動，當點Q運動到點O時兩點同時停止運動．

（1）設P點運動時間為t秒，M為PQ的中點，請用t表示出M點的坐標為______；
（2）設△BPM的面積為S，當t為何值時，S有最大值，最大值為多少？
（3）請畫出M點的運動路徑，并說明理由；
（4）若以A為圓心，AQ為半徑畫圓，t為何值時⊙A與點M的運動路徑只有一個交點？

Answer 1

（1）∵OP=8-2t，OQ=6-t
又∵M為PQ的中點，
∴M點的坐標為（4-t，3-

1

2

t）；

（2）BP=2t，M的縱坐標是：3-

1

2

t，
則S=

1

2

•2t•（3-

1

2

t），
即S=-

1

2

t²+3t=-

1

2

（t-3）²+

9

2

，
則當t=3時，S有最大值是

9

2

；

（3）∵M點的坐標為（4-t，3-

1

2

t），
∴M在y=

1

2

x+1上，即運動的路徑是y=

1

2

x+1（-2≤x≤4）；

（4）①⊙A與點M的運動路徑只有一個交點，則⊙A與射線y=

1

2

x+1相切，
∴A到直線的距離為AE=t，
設切點為E，射線y=

1

2

x+1與y軸交于點F，
則sin∠AFE=

t

5

=

2

5

，
解得：t=2

5

；
②當AQ=5時，⊙A過線段CD的端點C，
當AQ=6時，⊙A與線段CD恰有一個交點，
∴當5＜AQ≤6，即5s＜t≤6s時，⊙A與線段CD恰有一個交點，
綜上所述：當t=2

5

s或5s＜t≤6s時，⊙A與線段CD恰有一個交點．