Question

如圖，直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸交于A、B兩點，M是直線AB上的一個動點，MC⊥x軸于C，MD⊥y軸于D，若點M的橫坐標為a．
（1）當點M在線段AB上運動時，用a的代數式表示四邊形OCMD的周長；
（2）在（1）的條件下，求四邊形OCMD面積的最大值；
（3）以M為圓心MD為半徑的⊙M與以A為圓心AC為半徑的⊙A相切時，求a的值．

Answer 1

（1）∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴四邊形OCMD是矩形，
∵點M的橫坐標為a，M是直線AB上的一個動點，
∴y=-

3

4

a+6，
∴MD=OC=a，MC=OD=-

3

4

a+6，
∴四邊形OCMD的周長為：MD+OC+MC+OD=2[a+（-

3

4

a+6）]=

1

2

a+12；

（2）∵S_{四邊形OCMD}=MD•MC=a×（-

3

4

a+6）=-

3

4

a²+6a=-

3

4

（a²-8a）=-

3

4

（a-4）²+12，
∴當a=4時，S_{四邊形OCMD}最大，最大值為12，
即四邊形OCMD面積的最大值為12；

（3）∵以M為圓心MD為半徑的⊙M與以A為圓心AC為半徑的⊙A相切，
∴AM=MD+AC，
∵直線y=-

3

4

x+6交x軸于點A，
∴點A的坐標為：（8，0），
∴OA=8，
∵MD=OC=a，
∴AC=8-a，
∴AM=a+8-a=8，
在Rt△ACM中，AM²=AC²+MC²，
即8²=（8-a）²+（-

3

4

a+6）²，
∴25a²-400a+576=0，
∴（5a-72）（5a-8）=0，
解得：a=

72

5

＞8（舍去），a=

8

5

，
∴a的值為：

8

5

．