Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2= 的圖象交于點(diǎn)A（﹣4，m），且與y軸交于點(diǎn)B，第一象限內(nèi)點(diǎn)C在反比例函數(shù)y2= 的圖象上，且以點(diǎn)C為圓心的圓與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)D，B

（1）求m的值；
（2）求一次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）根據(jù)圖象，當(dāng)y1＜y2＜0時(shí)，寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)A（﹣4，m）的坐標(biāo)代入y2= ，

則m= =﹣1，

得m=﹣1；

（2）

解：連接CB，CD，

∵⊙C與x軸，y軸相切于點(diǎn)D，B，

∴∠CBO=∠CDO=90°=∠BOD，BC=CD，

∴四邊形BODC是正方形，

∴BO=OD=DC=CB，

∴設(shè)C（a，a）代入y2= 得：a2=4，

∵a＞0，∴a=2，

∴C（2，2），B（0，2），

把A（﹣4，﹣1）和（0，2）的坐標(biāo)代入y1=kx+b中，

得： ，

解得： ，

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y1= x+2；

（3）

解：∵A（﹣4，﹣1），

∴當(dāng)y1＜y2＜0時(shí)，x的取值范圍是：x＜﹣4．

【解析】（1）直接將A點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式求出答案；（2）直接利用切線的性質(zhì)結(jié)合正方形的判定與性質(zhì)得出C，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（3）利用A點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合函數(shù)圖象得出x的取值范圍．此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，正確求出C，B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑才能正確解答此題．