Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、C、E三點共線，連接DC，點F為CD上的一點，連接AF．

（1）若BE平分∠AED，求證：AC＝EC；

（2）若∠DAF＝∠AEC，求證：BE＝2AF．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質和角平分線的性質，可得∠ACB＝2∠AEC＝45°，可得∠AEC＝∠EAC＝22.5°，可得AC＝EC；

（2）過點D作DM∥AC，交AF的延長線于點M，通過證明△ABE≌△DMA，可得AB＝DM，AM＝BE，通過證明△ACF≌△MDF，可得BE＝AM＝2AF．

證明：（1）∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AE＝AD，∠ACB＝∠ABC＝∠AED＝∠ADE＝45°，

∵BE平分∠AED，

∴∠AEB＝22.5°

∵∠ACB＝∠AEC+∠EAC＝45°

∴∠AEC＝∠EAC＝22.5°

∴AC＝EC

（2）如圖，過點D作DM∥AC，交AF的延長線于點M，

∵∠DAF＝∠AEC，且∠AEC+∠EAC＝∠ACB＝45°

∴∠EAC+∠DAF＝45°，且∠DAE＝90°，

∴∠CAF＝45°

∵AC∥DM，

∴∠CAF＝∠DMA＝45°

∴∠DMA＝∠ABC＝45°，且AE＝AD，∠AEC＝∠DAF，

∴△ABE≌△DMA（AAS）

∴AB＝DM，AM＝BE，

∴AB＝AC＝DM，且∠AFC＝∠DFM，∠CAF＝∠AMD

∴△ACF≌△MDF（AAS）

∴AF＝FM

∴AM＝2AF＝BE