Question

【題目】（1）如圖（1），已知：在中，，，直線經過點，直線，直線，垂足分別為點、．證明：．

（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，、、三點都在直線上，且，其中為任意銳角或鈍角．請問結論是否仍然成立？如成立；請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）拓展與應用：如圖（3），、是直線上的兩動點、、三點互不重合），點為平分線上的一點，且和均為等邊三角形，連接、，若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立；證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；

（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結論．

（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD=EA，∠DBA=∠CAE，證明△DBF≌△EAF（SAS），得到DF=EF．

（1）∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠BDA=∠AEC=90°

又∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；

（2）成立

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴BD+CE=AE+AD=DE；

（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，

∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，

∴∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE，

∵BF=AF

在△DBF和△EAF中，

，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF=EF.